作者：党星宇

校园的黄昏里

池塘的倒影里的很大

走下去，就能用池水清洗年华

在群山中回绕的钟声下

广府的风啊

是一人孤独凝望的晚霞

是布满繁星却漆黑一片的德令哈

是凝聚成掌心柠檬的白蜡

好久不见了，你还好吗？

Day -2

广二集训。。。

每天一道码农题。

哈哈我会做。

$fst$警告。

天天被吊打。

获得成就，11k特判。

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本文讨论了两个关于square factor的趣题。

首先介绍一下square-free number（虽然和下面的内容没有什么关系）

我们称一个数是square-free的，当且仅当它没有平方因子（关于平方因子的定义在$Part\ I$中）

我们用$S(n)$表示$1$到$n$的square-free number的个数，有它的渐进式

$$
\lim_{n\rightarrow \infty} S(n)=\frac{6}{\pi^2}n+O(\sqrt{n})
$$

如果广义黎曼猜想成立，我们可以进一步减小误差：
$$
S(n)=\frac{6}{\pi^2}n+O(n^{17/54+\epsilon})
$$

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NOIP考前集训，成绩起起伏伏，有一些题没改。

集训的时候，经常写挂，导致NOIP考完之后非常慌。

NOIP考试时心态也不是很好，写代码和想题效率低下，导致Day2T2时间不够。

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顺为凡，逆为仙，只在其中颠倒颠

《无根树》张三丰

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你的名字

Solution

由于水平有限，笔者对于后缀自动机的应用知之甚少。

这道题作为一道经典的后缀自动机题目，对于诸如笔者的后缀自动机初学者对于后缀自动机的认识有很大帮助。

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取石子游戏

Solution

由于本人水平极低，所以觉得此题难死了。 通过看题解不难发现，对于一段区间$[L,R]$，若$L+1$ 到$R$每堆石子个数确定，那么使得这段区间上先手必败的$a[l]$有且只有一个。 证明非常的容易。首先假设没有先手必败的$a[L]$，那么所有的必胜态都会到一个必胜态，显然是不可能的。如果有$\geq 2$个必败态，考虑其中任意两个$x,y,x>y$，那么先手显然可以把$x$取成$y$，那么$x$就是一个必胜态。矛盾。 于是，我们定义$left[i][j]$表示在$[L,R]$区间左边添多少个变成一个必败态，$right[i][j]$表示在右边添多少个。那么答案就是$left[2][n]!=a[1]$。现在考虑如何求$left[l][r]$。设$L=left[l][r-1],R=right[l][r-1],X=a[r]$我们可以分以下几种情况讨论。 继续阅读

An unavoidable detour for home

Solution

由最短路唯一，不难发现以下性质：

1、原图可以通过对于$1$号点的最短路长度分层，成一棵树的形式，每一层的最短路长度相同。

2、剩下的边只能在树的同层内的点加。

3、由于要求对于$i>j$有$dis_i>dis_j$，所以每一层是一段区间。

于是，我们就可以$DP$了。显然有一个暴力的做法，$f[i][pre_1][pre_2][now_1][now_2]$表示上一层剩下的度数为$1$的点有$pre_1$个，度数为$2$的点有$pre_2$个。这一层的对应分别有$now_1,now_2$个。转移讨论一下$i$号点的连边情况。当$pre_1=pre_2=0$时，这一层就填完了，该填到下一层。

显然是可以通过预处理同层里的方案数直接每层转移。注意到度数为$2$的点的方案数要提前除$2$。

同时注意到，数据范围只有$50$，所以好写$n^5$暴力就可以愉快通过了。真好写

本文是一些关于黎曼$\zeta$函数的简单有趣的介绍。
里面有很多公式都打错了，您就当看着玩。

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小朋友与二叉树

Solution

对$C$这一维做一个生成函数，易得$C(x)=\sum_{i\in S}x^i$

然后我们在考虑二叉树，对于二叉树做一个生成函数$F(x)$。

我们不难发现
$$
F(x)=C(x)F^2(x)+1
$$
为什么是这样呢？我们考虑左右儿子合并在一起之后就是$F^2(x)$再加上根自己的贡献就是$F^2(x)C(x)$，然后我们发现常数项没有了，所以最后$+1$表示空树。

然后我们就可以愉快的解方程了，通过求根公式可以得到
$$
F(x)=\frac{1\pm\sqrt{1-4C(x)}}{2C(x)}
$$
其中有一个$\pm$该怎么办呢？通过简单观察我们可以发现，分母的常数项为$0$。如果是$+$，那么开根号后得到的多项式的常数项一定是一个非负数，所以这样分子就一定会有常数项，那么整个分数就一定会有余数。故上面只能为$-$。

于是我们就可以通过之前介绍过的多项式开根和多项式求逆元解决这道题了。