月份：2018年10月

取石子游戏

Solution

由于本人水平极低，所以觉得此题难死了。 通过看题解不难发现，对于一段区间$[L,R]$，若$L+1$ 到$R$每堆石子个数确定，那么使得这段区间上先手必败的$a[l]$有且只有一个。 证明非常的容易。首先假设没有先手必败的$a[L]$，那么所有的必胜态都会到一个必胜态，显然是不可能的。如果有$\geq 2$个必败态，考虑其中任意两个$x,y,x>y$，那么先手显然可以把$x$取成$y$，那么$x$就是一个必胜态。矛盾。 于是，我们定义$left[i][j]$表示在$[L,R]$区间左边添多少个变成一个必败态，$right[i][j]$表示在右边添多少个。那么答案就是$left[2][n]!=a[1]$。现在考虑如何求$left[l][r]$。设$L=left[l][r-1],R=right[l][r-1],X=a[r]$我们可以分以下几种情况讨论。 继续阅读

An unavoidable detour for home

Solution

由最短路唯一，不难发现以下性质：

1、原图可以通过对于$1$号点的最短路长度分层，成一棵树的形式，每一层的最短路长度相同。

2、剩下的边只能在树的同层内的点加。

3、由于要求对于$i>j$有$dis_i>dis_j$，所以每一层是一段区间。

于是，我们就可以$DP$了。显然有一个暴力的做法，$f[i][pre_1][pre_2][now_1][now_2]$表示上一层剩下的度数为$1$的点有$pre_1$个，度数为$2$的点有$pre_2$个。这一层的对应分别有$now_1,now_2$个。转移讨论一下$i$号点的连边情况。当$pre_1=pre_2=0$时，这一层就填完了，该填到下一层。

显然是可以通过预处理同层里的方案数直接每层转移。注意到度数为$2$的点的方案数要提前除$2$。

同时注意到，数据范围只有$50$，所以好写$n^5$暴力就可以愉快通过了。真好写